Поиск углов. Часть первая

Разберем, как находить углы между прямыми.

2016_05_23_1Начнем с определения.

Если прямые пересекаются, то угол между прямыми — это наименьший из углов, образованных прямыми.

Если же прямые скрещиваются, то углом между двумя прямыми называется угол между прямой и прямой, параллельной второй прямой и пересекающей первую.2016_05_21_pict1

Звучит непонятно, но если взглянуть на рисунок, то оказывается все просто: при решении задачи о нахождении угла между двумя прямыми нам необходимо найти какую-нибудь параллельную прямую, которая будет лежать в той же плоскости, что и другая прямая. Эти прямые будут пересекаться, а угол, образующийся при их пересечении, и будет углом между скрещивающимися прямыми.

2016_05_23_3Разберем как это работает на примере. Пусть нам надо:

найти угол между синими прямыми, одна из которых является диагональю куба, а вторая — диагональю квадрата, составляющего нижнюю грань куба.

Решение:

1) Надо придумать, куда бы перенести одну из прямых так, чтобы прямые пересеклись и было удобно искать угол между ними. Чтобы было куда переносить одну из прямых, дорисуем еще один такое же куб рядом с первым. 2016_05_23_4

2) Теперь перенесем одну из прямых так, чтобы она пересекалась со второй прямой. Например, перенесем нижнюю прямую наверх так, как показано на рисунке. 2016_05_23_5

3) Теперь одна из синих прямых пересекает зеленую прямую, и мы можем искать угол между этими прямыми.

4) Искать угол  между прямыми легче всего, используя треугольник, стороны которого являются частью прямых. Нам известны длины отрезков (из теоремы Пифагора), составляющих треугольник с синей, зеленой и серой стороной. 2016_05_23_6

5) Зная длины отрезков, находим косинус угла между синим и зеленым отрезком (а значит и прямыми), используя теорему косинусов: cos(α)=0. Следовательно α=90°.

Ответ: угол между синими прямым равен 90°.

Команда онлайн-курсов подготовки к ЕГЭ «На все 100!» надеется, что этот материал поможет вам на предстоящем экзамене, и желает удачи!

Будучи преподавателем, я часто сталкиваюсь с такой проблемой. На пробных экзаменах ученик все знает и умеет, все решает, в общем, все отлично. Наступает день экзамена, ученик, основательно заправившись успокоительным, идет сдавать его в состоянии зомби, совершает нелепые ошибки, и в итоге результат далек от максимума. Эта статья посвящена тому, как получить возможный именно для вас максимум на экзамене по математике.

Есть ряд простых правил, соблюдение которых позволить решить все задачи, которые вы умеете решать без ошибок.

  1. Никаких успокоительных, энергетических и прочих средств, влияющих на работу мозга. Ваша голова должна быть готова к решению задач, ничто не должно ей мешать, особенно на физиологическом уровне.
  2. При решении задачи внимательно прочитайте условие и обратите особое внимание на то, что надо найти. Частые ошибки: неправильное прочтение условия задачи или поиск того, о чем не спрашивают. Выпишите коротко, где это возможно, «дано» и «найти» — это позволит избежать ошибок подобного рода.
  3. Дальше следует… подумать. Да, просто подумать о том, как решать задачу, проанализировать ее особенности, понять, что можно использовать, или на что похоже то или иное выражение, «увидеть» какие-либо формулы, позволяющие упростить задачу. Часто учеников после экзамена начинает «осенять», как надо было делать тот или иной номер. Возникновение этого феномена просто объяснить: они начинают думать о том, как решать задачу — и додумываются! Думать надо на экзамене! Запомните: записали задачу — сосчитайте до 3-х и подумайте, как ее решать!
  4. Итак, вы записали «дано», «найти», подумали и придумали, как решать задачу. Следующее важное правило: напишите ОДЗ. И не забудьте обвести эту запись в рамочку! Так вы точно его учтете и получите причитающиеся вам по праву баллы.
  5. Запишите ответ. Да, я капитан очевидность, но записать ответ — это важно! Представьте проверяющего: у него будет стопка работ, аналогичных вашей, весом килограмма в три. Он проверяет работы уже третий день и прекрасно знает наперед, что может и что должно быть написано в решении того или иного номера. Не заставляйте его смотреть ваше решение, ведь даже при правильном ответе в решении есть много тонкостей и не факт, что при написании вы учли их все. Сделайте так, чтобы проверяющий посмотрел на ответ и на наличие решения, зачел вам номер и перешел к следующему. Это сэкономит силы проверяющему, расслабит его, сделает довольным. А довольный проверяющий — это сохраненные баллы! Поэтому напишите ответ на видном месте понятным почерком.
  6. Проверьте работу. Как ни странно это звучит, многие ученики так рады закончить экзаменационную работу, что не проверяют ее перед сдачей. Это недопустимо! Проверенная работа — это плюс один—два балла. Даже зажечь двадцать спичек без осечек сложно, что уж говорить о решении двадцати задач без ошибок? Ошибки бывают у всех, но проверка своей работы их выявит. Проверьте работу, и вы получите все баллы, которые должны получить!
  7. И самое важное. Отдыхайте на экзамене! Да, вам не померещилось. На экзамене надо отдыхать. Каждые час—полтора, иначе теряется концентрация. Решили тестовую часть — отдохните 5—10 минут. Решили первые три номера из части с развернутым ответом — опять отдохните! А после отдыха проверьте тестовую часть! Проверили — опять отдохните. Только после отдыха — проверьте следующие три номера, которые вы решили. После чего спокойно приступайте за другие один—два номера. Решили их — отдохните и проверьте оставшиеся задачи. Отдых дает поддержку концентрации, концентрация обеспечивает максимальную результативность. Отдыхайте на экзамене своевременно, и вы напишите его лучше, чем какой-либо из пробников!

Ну и несколько технических моментов:

1) Проверяйте номера с конца к началу (с ответа к условию) — это увеличит шанс найти ошибки в логике и арифметике, если они есть.

2) При отдыхе выкиньте все мысли из головы, просто посмотрите в потолок или в окно, выпейте воды. «Очистка» головы от текущих мыслей почти равна сну, она позволит вам сконцентрироваться после отдыха. Но старайтесь не тратить на отдых более 10 минут — экзамен не бесконечен, а задач много.

3) Спланируйте время. Посмотрите, какие задачи выглядят легкими, какие сложными и выберите очередность решения. На экзамене надо тратить время на то, что можно решить, и не тратить на то, что решить не удастся. Правильный выбор — залог успеха на экзамене!

Придерживайтесь этих нехитрых и подчас очевидных рекомендаций, и вы будете приятно удивлены результатом!

Команда онлайн-курсов подготовки к ЕГЭ «На все 100!» желает вам удачи на предстоящем экзамене!